jueves, 4 de diciembre de 2008
Suma por diferencia
Consideremos el producto de la suma de dos términos "a+b" por su diferencia "a-b". Al desarrollar el producto: (a+b)(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b = a2 - b2Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:(x+a)(x-a)=(x)2-(a)2Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:?El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo?
Cuadrado de Binomio
Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama BINOMIO. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de binomio.?El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término?Es decir: (x+-a)2= x2+-2xa+a2
producto notable
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicaci鲭ino a t鲭ino. A continuaci se describen algunos de ellos.
Cuadrado del binomio
Recordemos que a la expresilgebraica que consta de dos t鲭inos se le llama BINOMIO. El producto de un binomio por sismo recibe el nombre de cuadrado de binomio.
El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio "a+b", multiplicando t鲭ino a t鲭ino, se obtendr
(a+b)2 = (a+b)·(a+b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2
pero si comparamos la expresiquot;(a+b)2" con el resultado de su expansiquot;a2+2ab+b2" podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Donde representa al primer t鲭ino del binomio y al segundo.
Si tomamos como ejemplo al binomio "a-b", ocurre lo mismo que para "a+b" sque en la reduccie t鲭inos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:
En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciᮤose sen un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fla para desarrollar el producto notable cuadrado de binomio:
?El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer t鲭ino m᳠(o menos) el doble del producto del primer t鲭ino por el segundo m᳠el cuadrado del segundo t鲭ino?
La estructura que representa esta fla es:
Algunos ejemplos:
Representaci geom鴲ica del cuadrado del binomio
El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representacieom鴲ica en el plano.
Consiste en considerar el Ქa de un cuadrado de lado "a+b" y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos "a" y "b":
Con ellos se construye un trazo de longitud "a+b":
y con 鬠un cuadrado de la misma longitud:
Si se extienden los extremos de los trazos "a"y "b" 鳴os dividen al cuadrado en cuatro Ქas menores: dos cuadrados, uno de lado "a" y otro menor de lado "b", y dos rectᮧulos de largo "a" y ancho "b".
La suma de las Ქas de estos cuadrados y rectᮧulos es igual al Ქa total del cuadrado de lado "a + b", es decir:
Suma por diferencia
Consideremos el producto de la suma de dos t鲭inos "a+b" por su diferencia "a-b". Al desarrollar el producto:
(a+b)(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b = a2 - b2
Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Es decir, la suma de dos t鲭inos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los t鲭inos. La fla para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:
?El producto de una suma de dos t鲭inos por su diferencia es igual al cuadrado del primer t鲭ino menos el cuadrado del segundo?
Algunos ejemplos son:
(x + 5)(x - 5) = x2 - 25
(a2 - 3)(a2 + 3) = a4 - 9
(2p5 + 6q4)(2p5 - 6q4) = 4p10 - 36q8
Representaci geom鴲ica de la suma por diferencia
Para representar la suma por diferencia, utilizaremos un rectᮧulo de largo "a+b" y ancho "a-b". Considere dos trazos "a" y "b"cualesquiera:
Con el trazo "a" se construye el siguiente cuadrado:
A este cuadrado se le agrega un rectᮧulo de lados "a" y "b":
De este rectᮧulo (de lados "a" y "a+b") se le recorta un rectᮧulo de lados "a" y "b" (el achurado en la figura):
quedando:
El Ქa buscada es la del rectᮧulo de lados "a+b" y "a-b", para lo que debemos recortarle a la figura anterior el cuadrado de lado "b",
Finalmente, la representacieom鴲ica de la suma por diferencia se puede resumir por el siguiente esquema:
Multiplicaci de binomios con un t鲭ino com?>
Este producto notable corresponde a la multiplicacie binomios de la forma "a+b" por "a+c". Al desarrollar el producto
(a+b)(a+c)=a2 + (b + c)a + bc
se observa que la estructura es la siguiente:
La fla para el producto de binomios con un t鲭ino com?> se enuncia como sigue:
?Cuadrado del primer t鲭ino, m᳠la suma de los t鲭inos distintos multiplicada por el t鲭ino com?m᳠el producto de los t鲭inos distintos?
Ejemplos:
1. , observa que
2. , observa que
3. , observa que
Representaci geom鴲ica de la multiplicacie binomios con un t鲭ino com?ont>
Se consideran tres trazos "a", "b"y "c" de medidas distintas, por ejemplo:
Con ellos se construyen dos trazos de longitudes "a+b" y "a+c":
Y a partir de estos se construye un rectᮧulo de lados "a+b" y "a+c":
De aquodemos establecer la siguiente igualdad entre Ქas:
(a+b)(a+c) = a2 + ab + ac + bc
El siguiente esquema muestra este producto:
(a+b)(a+c) = a2 + ab + ac + bc
A continuaciresentamos otros productos notables con sus respectivas flas:
Cubo de un binomio
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Cuadrado de un trinomio
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
Suma y resta de cubos
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
Cuadrado del binomio
Recordemos que a la expresilgebraica que consta de dos t鲭inos se le llama BINOMIO. El producto de un binomio por sismo recibe el nombre de cuadrado de binomio.
El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio "a+b", multiplicando t鲭ino a t鲭ino, se obtendr
(a+b)2 = (a+b)·(a+b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2
pero si comparamos la expresiquot;(a+b)2" con el resultado de su expansiquot;a2+2ab+b2" podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Donde representa al primer t鲭ino del binomio y al segundo.
Si tomamos como ejemplo al binomio "a-b", ocurre lo mismo que para "a+b" sque en la reduccie t鲭inos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:
En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciᮤose sen un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fla para desarrollar el producto notable cuadrado de binomio:
?El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer t鲭ino m᳠(o menos) el doble del producto del primer t鲭ino por el segundo m᳠el cuadrado del segundo t鲭ino?
La estructura que representa esta fla es:
Algunos ejemplos:
Representaci geom鴲ica del cuadrado del binomio
El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representacieom鴲ica en el plano.
Consiste en considerar el Ქa de un cuadrado de lado "a+b" y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos "a" y "b":
Con ellos se construye un trazo de longitud "a+b":
y con 鬠un cuadrado de la misma longitud:
Si se extienden los extremos de los trazos "a"y "b" 鳴os dividen al cuadrado en cuatro Ქas menores: dos cuadrados, uno de lado "a" y otro menor de lado "b", y dos rectᮧulos de largo "a" y ancho "b".
La suma de las Ქas de estos cuadrados y rectᮧulos es igual al Ქa total del cuadrado de lado "a + b", es decir:
Suma por diferencia
Consideremos el producto de la suma de dos t鲭inos "a+b" por su diferencia "a-b". Al desarrollar el producto:
(a+b)(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b = a2 - b2
Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Es decir, la suma de dos t鲭inos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los t鲭inos. La fla para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:
?El producto de una suma de dos t鲭inos por su diferencia es igual al cuadrado del primer t鲭ino menos el cuadrado del segundo?
Algunos ejemplos son:
(x + 5)(x - 5) = x2 - 25
(a2 - 3)(a2 + 3) = a4 - 9
(2p5 + 6q4)(2p5 - 6q4) = 4p10 - 36q8
Representaci geom鴲ica de la suma por diferencia
Para representar la suma por diferencia, utilizaremos un rectᮧulo de largo "a+b" y ancho "a-b". Considere dos trazos "a" y "b"cualesquiera:
Con el trazo "a" se construye el siguiente cuadrado:
A este cuadrado se le agrega un rectᮧulo de lados "a" y "b":
De este rectᮧulo (de lados "a" y "a+b") se le recorta un rectᮧulo de lados "a" y "b" (el achurado en la figura):
quedando:
El Ქa buscada es la del rectᮧulo de lados "a+b" y "a-b", para lo que debemos recortarle a la figura anterior el cuadrado de lado "b",
Finalmente, la representacieom鴲ica de la suma por diferencia se puede resumir por el siguiente esquema:
Multiplicaci de binomios con un t鲭ino com?>
Este producto notable corresponde a la multiplicacie binomios de la forma "a+b" por "a+c". Al desarrollar el producto
(a+b)(a+c)=a2 + (b + c)a + bc
se observa que la estructura es la siguiente:
La fla para el producto de binomios con un t鲭ino com?> se enuncia como sigue:
?Cuadrado del primer t鲭ino, m᳠la suma de los t鲭inos distintos multiplicada por el t鲭ino com?m᳠el producto de los t鲭inos distintos?
Ejemplos:
1. , observa que
2. , observa que
3. , observa que
Representaci geom鴲ica de la multiplicacie binomios con un t鲭ino com?ont>
Se consideran tres trazos "a", "b"y "c" de medidas distintas, por ejemplo:
Con ellos se construyen dos trazos de longitudes "a+b" y "a+c":
Y a partir de estos se construye un rectᮧulo de lados "a+b" y "a+c":
De aquodemos establecer la siguiente igualdad entre Ქas:
(a+b)(a+c) = a2 + ab + ac + bc
El siguiente esquema muestra este producto:
(a+b)(a+c) = a2 + ab + ac + bc
A continuaciresentamos otros productos notables con sus respectivas flas:
Cubo de un binomio
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Cuadrado de un trinomio
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
Suma y resta de cubos
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
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